Kui funktsiooni ARGUMENTI lisada konstant, siis toimub graafiku nihe (paralleelne ülekanne) piki telge. Vaatleme funktsiooni ja positiivset arvu:

reeglid:
1) funktsioonigraafiku joonistamiseks peate graafikut liigutama KAASA teljed ühiku kohta vasakule;
2) funktsioonigraafiku joonistamiseks peate graafikut liigutama KAASA teljed ühiku kohta paremale.

Näide 6

Krundi funktsioon

Võtke parabool ja nihutage seda piki abstsisstellge 1 ühiku võrra paremale:

"Identifitseerimismajakas" on tähendus, siin asub parabooli tipp.

Nüüd arvan, et joonistamisega ei teki kellelgi raskusi (tunni alguse demonäide) - kuupparabooli tuleb nihutada 2 ühikut vasakule.

Siin on veel üks tüüpiline juhtum:

Näide 7

Krundi funktsioon

Hüperbooli (must värv) nihutatakse piki telge 2 ühiku võrra vasakule:

Hüperbooli liigutamine "annab välja" väärtuse, mida see ei sisalda funktsiooni domeen... Selles näites ja sirgjoone võrrand küsib vertikaalne asümptoot(punane punktiirjoon) funktsioonigraafik (punane pidev joon). Seega paralleelülekandega nihutatakse ka graafiku asümptooti (mis on ilmselge).

Läheme tagasi trigonomeetriliste funktsioonide juurde:

Näide 8

Krundi funktsioon

Siinusgraafik (must värv) nihutatakse piki telge võrra võrra vasakule:

Vaatame saadud punast graafikut lähemalt…. See on täpselt koosinusgraafik! Tegelikult saime geomeetrilise illustratsiooni redutseerimisvalemid, ja teie ees võib-olla kõige "kuulsam" valem, mis ühendab neid trigonomeetrilisi funktsioone. Funktsiooni graafik saadakse sinusoidi piki telge nihutades ühikute võrra vasakule (nagu juba õppetükis mainitud Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused). Samamoodi saab kontrollida mis tahes muu kehtivust redutseerimisvalemid.

Mõelge kompositsioonireeglile, kui argument on lineaarne funktsioon:, samas kui parameeter "ka" pole võrdne null või üks, parameeter "be" - pole võrdne null. Kuidas sellist funktsiooni joonistada? Koolikursusest teame, et korrutamine on ülimuslik liitmise suhtes, mistõttu näib, et kõigepealt tihendatakse / venitatakse / kuvatakse graafik sõltuvalt väärtusest ja seejärel nihutatakse ühikute kaupa. Kuid siin on lõks ja õige algoritm on järgmine:

Funktsiooni argument tuleb esitada kujul ja järgmised teisendused tuleb sooritada järjestikku:

1) Funktsiooni graafik on kokku surutud (või venitatud) ordinaatide teljele (teljelt): (kui, siis tuleks graafik lisaks kuvada sümmeetriliselt telje suhtes).

2) Saadud funktsiooni graafik nihutatakse mööda abstsisstelge vasakule (või paremale) peal (!!!) ühikut, mille tulemusena koostatakse vajalik graaf.

Näide 9

Krundi funktsioon

Esitame funktsiooni kujul ja teostame järgmised teisendused: sinusoid (must värv):

1) pigistada teljele kaks korda: (sinine);
2) liikuda piki telge peal (!!!) vasakule: (Punane värv):

Näide tundub olevat lihtne, kuid paralleelümberistumisega lendamine on lihtsamast lihtsam. Graafik liigub mööda, mitte mööda.

Jätkame tunni alguse funktsioonidega tegelemist:

Näide 10

Krundi funktsioon

Esitame funktsiooni kujul. Sel juhul: Ehitus viiakse läbi kolmes etapis. Naturaallogaritmi graafik:

1) pigistada teljele 2 korda:;
2) kuvada sümmeetriliselt telje ümber:;
3) liikuda piki telge peal (!!!) paremale: :

Enesekontrolli jaoks saate lõppfunktsioonis asendada näiteks paari "x" väärtustega ja kontrollida saadud graafikut.

Vaadeldavates lõikudes toimusid sündmused "horisontaalselt" - akordion mängis, jalad tantsisid vasakule / paremale. Kuid sarnased teisendused toimuvad "vertikaalses" suunas - piki telge. Põhiline erinevus seisneb selles, et need on seotud mitte ARGUMENTI, vaid FUNKTSIOONI ENDAGA.

Graafiku venitamine (pigistamine) MÖÖDA ordinaattelge.
Graafiku sümmeetriline kuvamine abstsisstelje ümber

Artikli teise osa ülesehitus on väga sarnane.

1) Kui FUNKTSIOON korrutada arvuga, siis on selle graafiku venitamine piki ordinaattelge.

Reegel venitada piki telgeõigel ajal.

2) Kui FUNKTSIOON korrutada arvuga, siis on selle graafiku kokkusurumine piki ordinaattelge.

Reegel: funktsioonigraafiku joonistamiseks, kus on vaja funktsioonigraafikut suruda piki telgeõigel ajal.

Arvake ära, millist funktsiooni ma uuesti proovin =)

Näide 11

Funktsioonigraafikute koostamine.

Võtame sinusoidi kroonist / kontsadest:

JA välja tõmbama teda piki telge 2 korda:

Funktsiooni periood ei ole muutunud ja on, kuid väärtused (kõik peale nulli) on suurenenud modulo kaks korda, mis on loogiline - lõppude lõpuks korrutatakse funktsioon 2-ga ja selle väärtuste vahemik kahekordistub:.

Nüüd pigistama sinusoid piki telge 2 korda:

Samamoodi ei ole periood muutunud, kuid funktsiooni väärtuste vahemik on kaks korda "tasandatud":.

Ei, ma ei suhtu sinusoidi osaliselt, ma tahtsin lihtsalt näidata, kuidas funktsioonide graafikud (näited nr 1, 3) erinevad äsja loodud graafikutest. Proovige neid elementaarseid juhtumeid paremini analüüsida ja mõista. Isegi minimaalsed teadmised graafiteisendustest pakuvad teile hindamatut abi teiste kõrgema matemaatika probleemide lahendamisel! ... Juhtumid

Vaatleme funktsiooni y = k / y. Selle funktsiooni graafik on sirge, mida matemaatikas nimetatakse hüperbooliks. Hüperbooli üldvaade on näidatud alloleval joonisel. (Graafik näitab, et funktsioon y on võrdne k jagatuna x-ga, milles k on võrdne ühega.)

On näha, et graafik koosneb kahest osast. Neid osi nimetatakse hüperbooli harudeks. Samuti tuleb märkida, et iga hüperbooli haru läheneb ühes suunas, mis on koordinaatide telgedele lähemal. Koordinaatide telgi nimetatakse sel juhul asümptootideks.

Üldiselt nimetatakse asümptootideks kõiki sirgeid, millele funktsiooni graafik lõpmatult läheneb, kuid ei ulatu. Hüperboolil, nagu paraboolil, on sümmeetriateljed. Ülaltoodud joonisel kujutatud hüperbooli jaoks on see sirge y = x.

Nüüd käsitleme kahte üldist hüperboolijuhtumit. Funktsiooni y = k / x graafik, kui k ≠ 0, on hüperbool, mille harud asuvad kas esimeses ja kolmandas koordinaatnurgas, kui k> 0, või teises ja neljandas koordinaatnurgas, kui k on<0.

Funktsiooni y = k / x põhiomadused, kui k> 0

Funktsiooni y = k / x graafik, kui k> 0

5.y> 0, kui x> 0; y6. Funktsioon väheneb nii intervallil (-∞; 0) kui ka intervallil (0; + ∞).

10. Funktsiooni väärtuste vahemik on kaks avatud intervalli (-∞; 0) ja (0; + ∞).

Funktsiooni y = k / x põhiomadused k jaoks<0

Funktsiooni y = k / x graafik k jaoks<0

1. Punkt (0; 0) on hüperbooli sümmeetriakese.

2. Koordinaatide teljed - hüperbooli asümptoodid.

4. Funktsiooni domeeniks on kõik x, välja arvatud x = 0.

5.y> 0 x0 jaoks.

6. Funktsioon suureneb nii intervallil (-∞; 0) kui ka intervallil (0; + ∞).

7. Funktsioon ei ole piiratud alt ega ülevalt.

8. Funktsioonil pole ei suurimat ega väikseimat väärtust.

9. Funktsioon on pidev intervallil (-∞; 0) ja intervallil (0; + ∞). Sellel on katkestus punktis x = 0.

Funktsioon Koefitsient k võib võtta mis tahes väärtused, välja arvatud k = 0. Vaatleme esmalt juhtumit, kui k = 1; seega on kõigepealt funktsioon.

Funktsioonigraafiku joonistamiseks toimime samamoodi nagu eelmises lõigus: anname sõltumatule muutujale x mitu konkreetset väärtust ja arvutame (valemi abil) sõltuva vastavad väärtused. muutuv juures. Tõsi, seekord on mugavam teha arvutusi ja konstruktsioone järk-järgult, andes argumendile esmalt ainult positiivsed väärtused ja seejärel ainult negatiivsed.

Esimene samm. Kui x = 1, siis y = 1 (tuletame meelde, et me kasutame valemit);

Teine faas.

Lühidalt, oleme koostanud järgmise tabeli:

Ja nüüd ühendame need kaks etappi üheks, see tähendab, et teeme ühe kahest joonisest 24 ja 26 (joonis 27). Seda see on funktsiooni graafik seda nimetatakse hüperbooliks.
Proovime kirjeldada hüperbooli geomeetrilisi omadusi joonise abil.

Esiteks, märkame, et see joon näeb välja sama ilus kui parabool, kuna sellel on sümmeetria. Iga koordinaatide O alguspunkti läbiv sirge, mis asub esimeses ja kolmandas koordinaatnurgas, lõikab hüperbooli kahes punktis, mis asuvad sellel sirgel punkti O vastaskülgedel, kuid sellest võrdsel kaugusel (joonis 28). . See on omane eelkõige punktidele (1; 1) ja (- 1; - 1),

Ja nii edasi, mis tähendab – O on hüperbooli sümmeetriakese. Nad ütlevad ka, et hüperbool on päritolu suhtes sümmeetriline koordinaadid.

Teiseks, näeme, et hüperbool koosneb kahest koordinaatide alguspunkti suhtes sümmeetrilisest osast; neid nimetatakse tavaliselt hüperbooli harudeks.

Kolmandaks märkame, et hüperbooli iga haru ühes suunas läheneb abstsissteljele ja teises suunas - ordinaatteljele. Sellistel juhtudel nimetatakse vastavaid sirgeid asümptootideks.

Seega funktsiooni graafik, s.o. hüperbool, sellel on kaks asümptooti: x-telg ja y-telg.

Kui analüüsite joonistatud graafikut hoolikalt, võite leida veel ühe geomeetrilise omaduse, mis pole nii ilmne kui kolm eelmist (matemaatikud ütlevad tavaliselt nii: "peenem omadus"). Hüperboolil pole mitte ainult sümmeetriakese, vaid ka sümmeetriatelg.

Tõepoolest, me konstrueerime sirge y = x (joonis 29). Vaata nüüd: punktid asub vastaskülgedel otse, kuid sellest võrdsel kaugusel. Need on selle sirge suhtes sümmeetrilised. Sama võib öelda ka punktide kohta, kus see muidugi tähendab, et sirge y = x on hüperbooli sümmeetriatelg (nagu ka y = -x)

Näide 1. Leia funktsiooni a) väikseim ja suurim väärtus lõigul; b) lõigul [- 8, - 1].
Lahendus a) Koostame funktsiooni graafiku ja valime segmendist selle osa, mis vastab muutuja x väärtustele (joonis 30). Graafiku valitud osa jaoks leidke:

b) Koostame funktsiooni graafiku ja valime selle osa, mis vastab muutuja x väärtustele. segment[- 8, - 1] (joon. 31). Graafiku valitud osa jaoks leidke:

Niisiis, vaatlesime funktsiooni juhul, kui k = 1. Olgu k nüüd positiivne arv, mis ei ole 1, näiteks k = 2.

Mõelge funktsioonile ja looge selle funktsiooni väärtuste tabel:

Koostame punktid (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),

koordinaattasandil (joonis 32). Nad visandavad kahest harust koosneva joone; teeme selle läbi (joon. 33). Nagu funktsiooni graafikut, nimetatakse seda sirget hüperbooliks.

Vaatleme nüüd juhtumit, kui k< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

Eelmises lõigus märkisime, et funktsiooni y = -f (x) graafik on sümmeetriline funktsiooni y = f (x) graafiku suhtes x-telje ümber. Eelkõige tähendab see, et funktsiooni y = - f (x) graafik on sümmeetriline funktsiooni y = f (x) graafiku suhtes x-telje ümber. Eelkõige tähendab see seda ajakava, on graafiku suhtes abstsisstelje suhtes sümmeetriline (joonis 34) Nii saame hüperbooli, mille harud paiknevad teises ja neljandas koordinaatnurgas.

Üldiselt funktsiooni graafik on hüperbool, mille harud asuvad esimeses ja kolmandas koordinaatnurgas, kui k> 0 (joonis 33), ning teises ja neljandas koordinaatnurgas, kui k< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Tavaliselt öeldakse, et kaks suurust x ja y on pöördvõrdelised, kui need on seotud seosega xy = k (kus k on 0-st erinev arv) või, mis on sama,. Sel põhjusel nimetatakse funktsiooni mõnikord pöördproportsionaalsuseks (analoogiliselt funktsiooniga y - kx, mis, nagu te ilmselt,
mäletan, nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks); arv k - pöördtegur proportsionaalsus.

Funktsiooni omadused k > 0 korral

Selle funktsiooni omaduste kirjeldamisel tugineme selle geomeetrilisele mudelile, hüperboolile (vt joonis 33).

2.y> 0, kui x> 0; y<0 при х<0.

3. Funktsioon väheneb intervallidel (- °°, 0) ja (0, + °°).

5. Ei funktsiooni väikseimad ega suurimad väärtused

Funktsiooni omadused k jaoks< 0
Selle funktsiooni omaduste kirjeldamisel tugineme selle geomeetrilisele alusele mudel- hüperbool (vt joonis 34).

1. Funktsiooni domeen koosneb kõikidest arvudest peale x = 0.

2.y> 0 x< 0; у < 0 при х > 0.

3. Funktsioon suureneb intervallidel (-oo, 0) ja (0, + oo).

4. Funktsioon ei ole piiratud alt ega ülevalt.

5. Funktsioonil pole ei väikseimaid ega suurimaid väärtusi.

6. Funktsioon on pidev intervallidel (-oo, 0) ja (0, + oo) ning läbib katkestuse, kui x = 0.

Tunni sisu tunni konspekt tugiraam õppetund esitlus kiirendusmeetodid interaktiivsed tehnoloogiad Harjuta ülesanded ja harjutused enesetesti töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded koduülesanded aruteluküsimused õpilaste retoorilised küsimused Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, diagrammid, tabelid, huumoriskeemid, naljad, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Toidulisandid kokkuvõtteid artiklid kiibid uudishimulikele petulehed õpikud põhi- ja lisasõnavara terminid teised Õpikute ja tundide täiustamineveaparandused õpetusesõpiku killu uuendamine innovatsiooni elementide tunnis vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid kalenderplaan aastaks juhised arutelu päevakord Integreeritud õppetunnid

The metoodiline materjal on viitamiseks ja hõlmab paljusid teemasid. Artiklis antakse ülevaade peamiste elementaarfunktsioonide graafikutest ja käsitletakse kõige olulisemat küsimust - kuidas koostada graafik õigesti ja KIIRESTI... Kõrgema matemaatika õppimise käigus põhiliste elementaarfunktsioonide graafikuid tundmata läheb see keeruliseks, seetõttu on väga oluline meeles pidada, kuidas näevad välja parabooli, hüperbooli, siinuse, koosinuse jne graafikud, meelde jätta mõned. funktsioonide väärtused. Räägime ka mõningatest põhifunktsioonide omadustest.

Ma ei pretendeeri materjalide täielikkusele ja teaduslikule põhjalikkusele, rõhuasetus on eelkõige praktikas - nendel asjadel, millega sellega tuleb tegeleda sõna otseses mõttes igal sammul, mis tahes kõrgema matemaatika teemas... Mannekeenide diagrammid? Nii võib öelda.

Lugejate populaarsel nõudmisel klikitav sisukord:

Lisaks on sellel teemal ülilühike konspekt
- omandage 16 tüüpi diagramme, uurides kuut lehekülge!

Tõsiselt, kuus, isegi mina olin üllatunud. See kokkuvõte sisaldab täiustatud graafikat ja on saadaval sümboolse tasu eest, demoversiooni saab vaadata. Faili on mugav printida nii, et graafikud oleksid alati käepärast. Aitäh projekti toetamise eest!

Ja kohe alustame:

Kuidas koordinaatteljed õigesti joonistada?

Praktikas koostavad õpilased peaaegu alati kontrolltööd eraldi vihikutesse, mis on vooderdatud puuri. Miks on vaja ruudulisi jooni? Lõppude lõpuks saab tööd põhimõtteliselt teha A4 lehtedel. Ja puur on vajalik just jooniste kvaliteetseks ja täpseks kujundamiseks.

Funktsiooni graafiku mis tahes joonis algab koordinaattelgedega.

Joonised on saadaval 2D ja 3D kujul.

Mõelge esmalt kahemõõtmelisele juhtumile ristkülikukujuline koordinaatsüsteem:

1) Joonistame koordinaatide teljed. Telge nimetatakse abstsiss ja telg on y-telg ... Püüame neid alati joonistada korralik ja mitte kõver... Samuti ei tohiks nooled meenutada papa Carlo habet.

2) Allkirjastame teljed suurte tähtedega "X" ja "Y". Ärge unustage telgedele alla kirjutada.

3) Seadke skaala piki telge: joonista null ja kaks ühte... Joonise tegemisel on kõige mugavam ja levinum mõõtkava: 1 ühik = 2 lahtrit (joonis vasakul) - võimalusel pidage sellest kinni. Aeg-ajalt aga juhtub, et joonis ei mahu vihikulehele ära – siis vähendame mõõtkava: 1 ühik = 1 lahter (joonis paremal). Harva, kuid juhtub, et joonise mõõtkava tuleb veelgi vähendada (või suurendada).

EI OLE VAJA "kuulipildujaga kritseldada" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Sest koordinaattasand ei ole Descartes'i monument ja õpilane ei ole tuvi. Panime null ja kaks ühikut piki telge... Mõnikord selle asemelühikutes, on mugav "märgistada" muid väärtusi, näiteks "kaks" abstsisstel ja "kolm" ordinaattel - ja see süsteem (0, 2 ja 3) määrab üheselt ka koordinaatide ruudustiku.

Parem on hinnata joonise hinnangulisi mõõtmeid ENNE joonise ehitamist.... Näiteks kui ülesanne nõuab kolmnurga joonistamist tippudega,,, siis on üsna selge, et populaarne skaala 1 ühik = 2 lahtrit ei tööta. Miks? Vaatame asja - siin tuleb mõõta viisteist sentimeetrit allapoole ja ilmselgelt joonistus ei mahu (või mahub vaevu) märkmikulehele. Seetõttu valime kohe väiksema skaala 1 ühik = 1 lahter.

Muide, umbes sentimeetrid ja sülearvuti rakud. Kas vastab tõele, et 30 tetraadi rakku sisaldavad 15 sentimeetrit? Mõõda joonlauaga märkmikusse huvi 15 sentimeetrit. NSV Liidus oli see võib-olla tõsi ... Huvitav on märkida, et kui mõõta just neid sentimeetreid horisontaalselt ja vertikaalselt, on tulemused (lahtrites) erinevad! Rangelt võttes pole tänapäevased märkmikud ruudulised, vaid ristkülikukujulised. Võib-olla tundub see jama, kuid näiteks kompassiga ringi joonistamine sellistes paigutustes on väga ebamugav. Ausalt öeldes hakkad sellistel hetkedel mõtlema seltsimees Stalini õigsusele, kes saadeti laagritesse tootmises häkkimistöödele, rääkimata kodumaisest autotööstusest, kukkuvatest lennukitest või plahvatavatest elektrijaamadest.

Kvaliteedist rääkides või lühike soovitus kirjatarvete kohta. Tänaseks on suurem osa vihikuid müügil, et mitte öelda pahasti, täis homoseksuaalsust. Sel põhjusel, et nad saavad märjaks ja mitte ainult geelpliiatsite, vaid ka pastapliiatsite käest! Nad säästavad paberit. Testide registreerimiseks soovitan kasutada Arhangelski PPM-i (18 lehte, kast) või "Pjaterochka" märkmikke, kuid see on kallim. Soovitav on valida geelpliiats, isegi odavaim Hiina geelitäide on palju parem kui pastapliiats, mis paberit kas määrib või rebib. Ainus "konkurentsivõimeline" pastapliiats on minu mäletamist mööda "Erich Krause". Ta kirjutab selgelt, kaunilt ja stabiilselt – kas täis tuumaga või peaaegu tühjaga.

Lisaks: Artiklis käsitletakse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi nägemist analüütilise geomeetria silmadega Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused, üksikasjalikku teavet koordinaatkvartalite kohta leiate õppetunni teisest lõigust Lineaarsed ebavõrdsused.

Kolmemõõtmeline korpus

Siin on peaaegu sama.

1) Joonistame koordinaatide teljed. Standard: telg kohaldada - suunatud üles, telg - suunatud paremale, telg - vasakule ja alla rangelt 45 kraadise nurga all.

2) Kirjutame telgedele alla.

3) Seadke skaala piki telge. Telje skaala – teistel telgedel pool skaalast... Pange tähele ka seda, et parempoolsel joonisel olen kasutanud piki telge ebastandardset "serifi". (seda võimalust on juba eespool mainitud)... Minu vaatevinklist on see täpsem, kiirem ja esteetilisem - pole vaja otsida mikroskoobi all raku keskosa ja "skulpeerida" ühikut otse päritolu kõrvale.

Kui teete uuesti 3D-joonistamist - eelistage mõõtkava
1 ühik = 2 lahtrit (joonis vasakul).

Mille jaoks kõik need reeglid on? Reeglid on selleks, et neid rikkuda. Mida ma nüüd tegema hakkan. Fakt on see, et artikli järgnevad joonised teen mina Excelis ja koordinaatteljed tunduvad õige disaini seisukohalt valed. Ma võin kõik diagrammid käsitsi joonistada, kuid nende joonistamine on tegelikult kohutav, kuna Excel joonistab need palju täpsemalt.

Graafikud ja elementaarfunktsioonide põhiomadused

Lineaarfunktsioon on antud võrrandiga. Lineaarfunktsioonide graafik on otse... Sirge ehitamiseks piisab kahe punkti teadmisest.

Näide 1

Joonistage funktsioon. Leiame kaks punkti. Üheks punktiks on kasulik valida null.

Kui siis

Võtke mõni muu punkt, näiteks 1.

Kui siis

Ülesannete täitmisel võetakse punktide koordinaadid tavaliselt tabelisse:

Ja väärtused ise arvutatakse suuliselt või mustandil, kalkulaatoril.

Leitakse kaks punkti, teostame joonise:

Joonise koostamisel allkirjastame alati graafikud.

Lineaarse funktsiooni erijuhtumeid ei ole üleliigne meenutada:

Pange tähele, kuidas ma olen allkirju korraldanud, allkirjad ei tohiks joonise uurimisel lubada lahknevusi... Sel juhul oli väga ebasoovitav panna allkiri joonte lõikepunkti lähedusse või all paremale graafikute vahele.

1) Vormi () lineaarset funktsiooni nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks. Näiteks, . Otseproportsionaalne graaf läbib alati alguspunkti. Seega on sirgjoone ehitamine lihtsustatud – piisab vaid ühe punkti leidmisest.

2) Vormi võrrand seab teljega paralleelse sirge, täpsemalt on võrrandiga seatud telg ise. Funktsioonigraafik koostatakse kohe, punkte leidmata. See tähendab, et rekordit tuleks mõista järgmiselt: "mäng on alati võrdne –4, mis tahes x väärtuse korral".

3) Vormi võrrand seab teljega paralleelse sirge, täpsemalt on võrrandiga seatud telg ise. Kohe ehitatakse ka funktsioonigraafik. Märgistust tuleks mõista järgmiselt: "x on alati y mis tahes väärtuse korral võrdne 1-ga".

Mõned küsivad, miks mäletada 6. klassi ?! Nii see võib-olla on, ainult aastatepikkuse praktika jooksul kohtasin kümmekond õpilast, kes olid hämmingus graafiku koostamise ülesandest nagu või.

Sirge joone tõmbamine on joonistamise kõige tavalisem samm.

Sirge käsitletakse üksikasjalikult analüütilise geomeetria käigus ja soovijad võivad artiklile viidata Tasapinna sirgjoone võrrand.

Ruut-, kuupfunktsiooni graafik, polünoomgraaf

Parabool. Ajakava ruutfunktsioon () on parabool. Mõelge kuulsale juhtumile:

Tuletame meelde mõningaid funktsiooni omadusi.

Niisiis, meie võrrandi lahendus: - just selles punktis asub parabooli tipp. Miks see nii on, saate teada tuletise teoreetilisest artiklist ja funktsiooni äärmuste õppetunnist. Vahepeal arvutame "mängu" vastava väärtuse:

Nii et tipp on punktis

Nüüd leiame teisi punkte, kasutades samas jultunult parabooli sümmeetriat. Tuleb märkida, et funktsioon – pole ühtlane, kuid sellegipoolest pole parabooli sümmeetriat tühistatud.

Millises järjekorras ülejäänud punktid üles leida, selgub minu arvates finaaltabelist:

Seda ehitusalgoritmi võib Anfisa Tšehhovaga piltlikult nimetada "süstikuks" või "edasi-tagasi" põhimõtteks.

Teostame joonise:

Uuritud graafikute põhjal tuleb meelde veel üks kasulik funktsioon:

Ruutfunktsiooni jaoks () alljärgnev on tõsi:

Kui, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole.

Kui, siis on parabooli oksad suunatud allapoole.

Põhjalikud teadmised kõvera kohta saab Hüperbooli ja parabooli tunnis.

Kuupparabool on antud funktsiooniga. Siin üks kooliajast tuttav joonistus:

Loetleme funktsiooni peamised omadused

Funktsioonide graafik

See esindab ühte parabooli harudest. Teostame joonise:

Funktsiooni peamised omadused:

Sel juhul on telg vertikaalne asümptoot hüperbooli at graafiku jaoks.

See on SUUR viga, kui jätate joonise koostamisel tähelepanuta graafiku ja asümptoodi ristumiskoha.

Ka ühepoolsed piirid ütlevad meile, et hüperbool pole ülalt piiratud ja ei ole altpoolt piiratud.

Uurime funktsiooni lõpmatus: see tähendab, et kui hakkame liikuma mööda telge vasakule (või paremale) lõpmatuseni, siis on "mängud" lõpmatult lähedal läheneda nullile ja vastavalt ka hüperbooli harudele lõpmatult lähedal läheneda teljele.

Nii et telg on horisontaalne asümptoot funktsiooni graafiku puhul, kui "x" kaldub pluss või miinus lõpmatuseni.

Funktsioon on kummaline, ja seega on hüperbool sümmeetriline päritolu suhtes. See asjaolu on jooniselt ilmne, lisaks on seda analüütiliselt lihtne kontrollida: .

Vormi () funktsiooni graafik esindab hüperbooli kahte haru.

Kui, siis asub hüperbool esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis(vt pilti ülal).

Kui, siis asub hüperbool teises ja neljandas koordinaatveerandis.

Hüperbooli elukoha näidatud seaduspärasust on lihtne analüüsida graafikute geomeetriliste teisenduste seisukohalt.

Näide 3

Koostage hüperbooli parempoolne haru

Kasutame punkt-punkti ehitusmeetodit, samas on kasulik valida väärtused nii, et see jaguneks täielikult:

Teostame joonise:

Hüperbooli vasaku haru konstrueerimine pole keeruline, siin aitab lihtsalt paaritu funktsioon. Jämedalt öeldes lisage punkt-punkti ehitamise tabelis igale numbrile mõttes miinus, pange vastavad punktid ja joonistage teine ​​haru.

Üksikasjalikku geomeetrilist teavet vaadeldava joone kohta leiate artiklist Hüperbool ja parabool.

Eksponentfunktsiooni graafik

Selles jaotises käsitlen kohe eksponentsiaalfunktsiooni, kuna kõrgema matemaatika ülesannetes puutub 95% juhtudest kokku eksponentsiaaliga.

Lubage mul teile meelde tuletada, et see on irratsionaalne arv: seda on vaja ajakava koostamisel, mille ma tegelikult koostan ilma tseremooniata. Ilmselt piisab kolmest punktist:

Jätame funktsioonigraafiku praegu rahule, sellest hiljem.

Funktsiooni peamised omadused:

Põhimõtteliselt näevad funktsioonigraafikud välja samasugused jne.

Pean ütlema, et teine ​​juhtum on praktikas vähem levinud, kuid see juhtub, nii et ma pidasin vajalikuks lisada see käesolevasse artiklisse.

Logaritmfunktsiooni graafik

Vaatleme naturaallogaritmiga funktsiooni.
Teostame punkt-punkti joonise:

Kui olete unustanud, mis on logaritm, vaadake oma kooliõpikuid.

Funktsiooni peamised omadused:

Domeen:

Väärtuste vahemik:.

Funktsioon ei ole ülalt piiratud: , küll aeglaselt, kuid logaritmi haru tõuseb lõpmatuseni.
Uurime parempoolse nullilähedase funktsiooni käitumist: ... Nii et telg on vertikaalne asümptoot funktsiooni graafiku jaoks, mille paremal pool on null.

On hädavajalik teada ja meeles pidada logaritmi tüüpilist väärtust.: .

Põhimõtteliselt näeb baaslogaritmi graafik välja sama:,, (kümnendlogaritmi alus 10) jne. Veelgi enam, mida suurem on alus, seda lamedam on graafik.

Me ei võta seda juhtumit arvesse, millegipärast ma ei mäleta, millal ma viimati sellisel alusel graafiku koostasin. Ja logaritm näib olevat kõrgmatemaatika ülesannetes väga harv külaline.

Lõigu lõpus ütlen veel ühe fakti kohta: Eksponentfunktsioon ja logaritmiline funktsioonNeed on kaks vastastikku pöördfunktsiooni... Kui vaatate tähelepanelikult logaritmi graafikut, näete, et see on sama astendaja, lihtsalt see asub veidi erinevalt.

Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud

Kuidas algab trigonomeetriline piin koolis? Õige. Siinusest

Joonistame funktsiooni

Seda rida nimetatakse sinusoid.

Tuletan meelde, et "pi" on irratsionaalne arv: ja trigonomeetrias pimestab see silmis.

Funktsiooni peamised omadused:

See funktsioon on perioodiline perioodiga. Mida see tähendab? Vaatame segmenti. Sellest vasakul ja paremal kordub lõputult täpselt sama graafiku tükk.

Domeen:, see tähendab, et iga "x" väärtuse jaoks on siinusväärtus.

Väärtuste vahemik:. Funktsioon on piiratud:, ehk siis kõik "mängurid" istuvad rangelt segmendis.
Seda ei juhtu: või täpsemalt, juhtub, kuid neil võrranditel pole lahendust.

Funktsioon on sisse kirjutatud üldine vaade nagu y = või f (x) =

y ja x on pöördvõrdelised suurused, st. kui üks kasvab, siis teine ​​väheneb (kontrollige funktsioonis numbrite asendamisega)

Erinevalt eelmisest funktsioonist, milles x 2 annab alati positiivsed väärtused, ei saa siin öelda, et - =, kuna need on täiesti vastupidised arvud. Selliseid funktsioone nimetatakse kummaline.

Näiteks joonistame graafiku y =

Loomulikult ei saa x olla null (x ≠ 0)

Filiaalid hüperboolid asuvad koordinaatide 1. ja 3. osas.

Nad võivad lõputult läheneda abstsiss- ja ordinaattelgedele ega jõua kunagi nendeni, isegi kui "x" võrdub miljardiga. Hüperbool on lõpmatult lähedal, kuid siiski ei ristu telgedega (selline on matemaatiline kurbus).

Koostame graafiku y = - jaoks

Ja nüüd asuvad hüperbooli harud koordinaattasandi teises ja neljandas veerandis.

Selle tulemusena võib kõigi harude vahel täheldada täielikku sümmeetriat.