إذا تمت إضافة ثابت إلى ARGUMENT الخاص بالوظيفة ، فسيحدث تحول (نقل متوازي) للرسم البياني على طول المحور. ضع في اعتبارك دالة ورقم موجب:

قواعد:
1) لرسم مخطط وظيفي ، تحتاج إلى تحريك الرسم البياني على امتدادمحاور لكل وحدة إلى اليسار;
2) لرسم مخطط وظيفي ، تحتاج إلى إزاحة الرسم البياني على امتدادمحاور لكل وحدة إلى اليمين.

مثال 6

وظيفة مؤامرة

خذ القطع المكافئ وانقله على طول محور الإحداثية بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين:

"منارة التعريف" هي القيمة ، وهنا توجد قمة القطع المكافئ.

الآن ، على ما أعتقد ، لن يواجه أي شخص أي صعوبات في التخطيط (مثال توضيحي لبداية الدرس) - يجب نقل القطع المكافئ المكعب بمقدار وحدتين إلى اليسار.

إليك حالة نموذجية أخرى:

مثال 7

وظيفة مؤامرة

يتم إزاحة القطع الزائد (اللون الأسود) على طول المحور بمقدار وحدتين إلى اليسار:

نقل القطع الزائد "يعطي" قيمة غير مضمنة في مجال الوظيفة... في هذا المثال ، و معادلة الخط المستقيميسأل الخط المقارب الرأسي(خط أحمر منقط) وظيفة الرسم البياني (خط متصل أحمر). وبالتالي ، مع النقل الموازي ، يتم أيضًا إزاحة خط التقارب للرسم البياني (وهو أمر واضح).

دعنا نعود إلى الدوال المثلثية:

المثال 8

وظيفة مؤامرة

يتم إزاحة الرسم البياني للجيب (اللون الأسود) على طول المحور على طول المحور بمقدار إلى اليسار:

دعونا نلقي نظرة فاحصة على الرسم البياني الأحمر الناتج…. هذا هو بالضبط الرسم البياني لجيب التمام! في الواقع ، حصلنا على توضيح هندسي صيغ التخفيض، وربما قبلك ، الصيغة "الأكثر شهرة" التي تربط بين هذه الدوال المثلثية. يتم الحصول على الرسم البياني للوظيفة عن طريق إزاحة الجيب على طول المحور بوحدات إلى اليسار (والذي سبق ذكره في الدرس الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية). وبالمثل ، يمكن للمرء أن يتحقق من صحة أي شخص آخر صيغ التخفيض.

ضع في اعتبارك القاعدة التركيبية ، عندما تكون الوسيطة دالة خطية: ، بينما المعلمة "ka" غير متساويصفر أو واحد ، المعلمة "be" - غير متساويصفر. كيف ترسم مثل هذه الوظيفة؟ من الدورة المدرسية ، نعلم أن الضرب له الأسبقية على الجمع ، لذلك يبدو أن الرسم البياني أولاً مضغوط / ممتد / معروض حسب القيمة ، ثم ننتقل حسب الوحدات. لكن هناك مأزق هنا ، والخوارزمية الصحيحة هي كالتالي:

يجب تمثيل وسيطة الوظيفة في النموذج ويجب إجراء التحويلات التالية بالتسلسل:

1) الرسم البياني للوظيفة مضغوط (أو ممتد) إلى المحور (من المحور) للإحداثيات: (إذا ، يجب عرض الرسم البياني بشكل متماثل حول المحور).

2) يتم إزاحة الرسم البياني للدالة الناتجة إلى اليسار (أو إلى اليمين) على طول محور الإحداثي تشغيل (!!!) وحدات، ونتيجة لذلك سيتم بناء الرسم البياني المطلوب.

المثال 9

وظيفة مؤامرة

دعنا نمثل الوظيفة في النموذج ونجري التحولات التالية: الجيبية (اللون الأسود):

1) ضغط على المحورمرتين: (أزرق) ؛
2) التحرك على طول المحور تشغيل (!!!) إلى اليسار: (أحمر اللون):

يبدو المثال بسيطًا ، لكن الطيران بنقل موازٍ أسهل من السهل. يتحرك الرسم البياني بمقدار وليس من خلال.

نستمر في التعامل مع وظائف بداية الدرس:

المثال 10

وظيفة مؤامرة

دعنا نمثل الوظيفة في الصورة. في هذه الحالة: سيتم تنفيذ البناء في ثلاث خطوات. مؤامرة اللوغاريتم الطبيعي:

1) ضغط على المحور 2 مرات:؛
2) العرض بشكل متماثلحول المحور:
3) التحرك على طول المحور تشغيل (!!!) إلى اليمين: :

للتحكم الذاتي في الوظيفة النهائية ، يمكنك استبدال زوج من قيم "x" ، على سبيل المثال ، والتحقق من الرسم البياني الناتج.

في الفقرات التي تم النظر فيها ، وقعت الأحداث "بشكل أفقي" - كان الأكورديون يعزف ، وكانت الأرجل ترقص إلى اليسار / اليمين. لكن تحولات مماثلة تحدث في الاتجاه "العمودي" - على طول المحور. الاختلاف الأساسي هو أنهما مرتبطان ليس بالحجة ، ولكن بالوظيفة نفسها.

تمديد (ضغط) الرسم البياني على طول المحور الإحداثي.
عرض متماثل للرسم البياني حول محور الإحداثيات

سيكون هيكل الجزء الثاني من المقال مشابهًا جدًا.

1) إذا تم ضرب الدالة برقم ، فهناك تمتد الرسم البياني على طول المحور الإحداثي.

القاعدة تمتد على طول المحورفي الوقت المناسب.

2) إذا تم ضرب الدالة برقم ، فهناك ضغط الرسم البياني الخاص به على طول المحور الإحداثي.

القاعدة: لرسم رسم بياني للوظيفة ، حيث تحتاج إلى رسم بياني للوظيفة ضغط على طول المحورفي الوقت المناسب.

خمن الوظيفة التي سأحاولها مرة أخرى =)

المثال 11

بناء الرسوم البيانية للوظائف.

نأخذ الجيوب الأنفية من التاج / الكعب:

و إسحب للخارجلها على طول المحور 2 مرات:

لم تتغير فترة الوظيفة وهي كذلك ، لكن القيم (جميعها باستثناء الصفر) زادت مودولومرتين ، وهو أمر منطقي - بعد كل شيء ، يتم ضرب الوظيفة في 2 ، ومدى قيمها يتضاعف :.

حاليا يعصرجيبي على طول المحور 2 مرات:

وبالمثل ، لم تتغير الفترة ، ولكن تم "تسوية" نطاق قيم الوظيفة مرتين :.

لا ، ليس لدي أي موقف جزئي تجاه الجيوب الأنفية ، أردت فقط أن أوضح كيف تختلف الرسوم البيانية للوظائف (الأمثلة رقم 1 ، 3) عن نظيراتها المبنية حديثًا. حاول تحليل وفهم هذه الحالات الأولية بشكل أفضل. حتى الحد الأدنى من المعرفة بتحولات الرسم البياني سيوفر لك مساعدة لا تقدر بثمن في حل المشكلات الأخرى للرياضيات العليا! ... حالات

ضع في اعتبارك الدالة y = k / y. الرسم البياني لهذه الوظيفة هو خط يسمى في الرياضيات القطع الزائد. يظهر الشكل العام للقطع الزائد في الشكل أدناه. (يوضح الرسم البياني الدالة y تساوي k على x ، حيث k يساوي واحدًا).

يمكن ملاحظة أن الرسم البياني يتكون من جزأين. تسمى هذه الأجزاء بفروع القطع الزائد. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن كل فرع من القطع الزائد يقترب في أحد الاتجاهات الأقرب والأقرب إلى محاور الإحداثيات. تسمى محاور الإحداثيات في هذه الحالة الخطوط المقاربة.

بشكل عام ، تسمى أي خطوط مستقيمة يقترب منها الرسم البياني لوظيفة ما بلا حدود ، ولكن لا يصل إليها ، الخطوط المقاربة. القطع الزائد ، مثل القطع المكافئ ، له محاور تناظر. للقطع الزائد الموضح في الشكل أعلاه ، هذا هو الخط y = x.

الآن دعونا نتعامل مع حالتين عامتين من القطوع الزائدة. سيكون الرسم البياني للدالة y = k / x ، لـ k 0 ، عبارة عن قطع زائد ، تقع فروعه إما في زاويتي الإحداثيات الأولى والثالثة ، من أجل k> 0 ، أو في زاويتي الإحداثيتين الثانية والرابعة ، من أجل k<0.

الخصائص الأساسية للدالة y = k / x ، لـ k> 0

رسم بياني للدالة y = k / x ، لـ k> 0

5.y> 0 لـ x> 0 ؛ ذ 6. تنقص الوظيفة في كل من الفاصل الزمني (-∞ ؛ 0) وفي الفاصل الزمني (0 ؛ + ∞).

10. نطاق قيم الوظيفة عبارة عن فترتين مفتوحتين (-؛ 0) و (0 ؛ + ∞).

الخصائص الأساسية للدالة y = k / x ، لـ k<0

الرسم البياني للدالة y = k / x من أجل k<0

1. النقطة (0 ؛ 0) هي مركز تناظر القطع الزائد.

2. تنسيق المحاور - الخطوط المقاربة للقطع الزائد.

4. مجال الوظيفة هو كل x ، باستثناء x = 0.

5.y> 0 لـ x0.

6. تزيد الوظيفة على كل من الفاصل الزمني (-∞ ؛ 0) وعلى الفاصل الزمني (0 ؛ + ∞).

7. لا تقتصر الوظيفة من الأسفل أو من الأعلى.

8. ليس للدالة أكبر قيمة ولا أصغر قيمة.

9. الوظيفة متصلة على الفاصل الزمني (-∞ ؛ 0) وفي الفاصل الزمني (0 ؛ + ∞). لديه انقطاع عند النقطة x = 0.

يمكن أن يأخذ معامل الوظيفة k أي قيم ، باستثناء k = 0. أولاً ، ضع في اعتبارك الحالة عندما k = 1 ؛ وبالتالي ، فالأمر يتعلق بالوظيفة أولاً.

لرسم رسم بياني للوظيفة ، سنمضي في نفس الطريقة كما في الفقرة السابقة: نعطي المتغير المستقل x عدة قيم محددة ونحسب (باستخدام الصيغة) القيم المقابلة لـ التابع عاملفي. صحيح أنه من الأنسب هذه المرة إجراء العمليات الحسابية والتركيبات تدريجياً ، مع إعطاء الوسيطة أولاً القيم الموجبة فقط ، ثم القيم السلبية فقط.

الخطوة الأولى.إذا كانت x = 1 ، فإن y = 1 (تذكر أننا نستخدم الصيغة) ؛

المرحلة الثانية.

باختصار ، قمنا بتجميع الجدول التالي:

والآن سنجمع المرحلتين في مرحلة واحدة ، أي سنجعل أحد الشكلين 24 و 26 (الشكل 27). هذا ما هو عليه الرسم البياني للوظيفةيطلق عليه المبالغة.
دعنا نحاول وصف الخصائص الهندسية للقطع الزائد باستخدام الرسم.

في البدايه، نلاحظ أن هذا الخط يبدو جميلًا مثل القطع المكافئ ، لأنه يحتوي على تناظر. أي خط مستقيم يمر عبر أصل الإحداثيات O ويقع في زاويتي الإحداثيات الأولى والثالثة يتقاطع مع القطع الزائد عند نقطتين تقعان على هذا الخط المستقيم على جانبي النقطة O ، ولكن على مسافات متساوية منها (الشكل 28) . هذا متأصل ، على وجه الخصوص ، في النقاط (1 ؛ 1) و (- 1 ؛ - 1) ،

وهكذا ، مما يعني أن - O هو مركز تناظر القطع الزائد. يقولون أيضًا أن القطع الزائد متماثل حول الأصل إحداثيات.

ثانيا، نرى أن القطع الزائد يتكون من جزأين متماثلين فيما يتعلق بأصل الإحداثيات ؛ يطلق عليهم عادة فروع القطع الزائد.

ثالثًا ، نلاحظ أن كل فرع من القطع الزائد في اتجاه واحد يقترب أكثر فأكثر من محور الإحداثيات ، وفي الاتجاه الآخر - إلى المحور الإحداثي. في مثل هذه الحالات ، تسمى الخطوط المستقيمة المقابلة الخطوط المقاربة.

ومن ثم ، فإن الرسم البياني للوظيفة ، أي القطع الزائد يحتوي على خطين مقاربين: المحور السيني والمحور الصادي.

إذا قمت بتحليل الرسم البياني بعناية ، يمكنك العثور على خاصية هندسية أخرى ، ليست واضحة مثل الخصائص الثلاث السابقة (عادة ما يقول علماء الرياضيات: "خاصية أكثر دقة"). لا يحتوي القطع الزائد على مركز تناظر فحسب ، بل يحتوي أيضًا على محور تناظر.

في الواقع ، نحن نبني خطًا مستقيمًا y = x (الشكل 29). انظر الآن: النقاط تقع على جوانب متقابلة من مباشرة، ولكن على مسافات متساوية منه. هم متماثلون حول هذا الخط المستقيم. يمكن قول الشيء نفسه عن النقاط التي يعني هذا بالطبع أن الخط المستقيم y = x هو محور تناظر القطع الزائد (وكذلك y = -x)

مثال 1. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة أ) على قطعة ؛ ب) على المقطع [- 8 ، - 1].
الحل ، أ) دعونا ننشئ رسمًا بيانيًا للوظيفة ونختار ذلك الجزء منه الذي يتوافق مع قيم المتغير x من المقطع (الشكل 30). بالنسبة للجزء المحدد من الرسم البياني ، ابحث عن:

ب) دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة ونحدد ذلك الجزء منها الذي يتوافق مع قيم المتغير x من قطعة[- 8 ، - 1] (شكل 31). بالنسبة للجزء المحدد من الرسم البياني ، ابحث عن:

لذلك ، أخذنا في الاعتبار وظيفة الحالة عندما تكون k = 1. والآن لنفترض أن k عددًا موجبًا بخلاف 1 ، على سبيل المثال ، k = 2.

ضع في اعتبارك دالة وأنشئ جدولًا للقيم لهذه الوظيفة:

دعونا نبني النقاط (1 ؛ 2) ، (2 ؛ 1) ، (-1 ؛ -2) ، (-2 ؛ -1) ،

على مستوى الإحداثيات (الشكل 32). يرسمون خطًا يتكون من فرعين ؛ دعونا ننفذها (شكل 33). مثل الرسم البياني للدالة ، يسمى هذا الخط القطع الزائد.

ضع في اعتبارك الآن الحالة عند k< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

في الفقرة السابقة ، لاحظنا أن الرسم البياني للدالة y = -f (x) متماثل مع الرسم البياني للدالة y = f (x) حول المحور x. على وجه الخصوص ، هذا يعني أن الرسم البياني للدالة y = - f (x) متماثل مع الرسم البياني للدالة y = f (x) حول المحور x. على وجه الخصوص ، هذا يعني أن جدول، متماثل مع الرسم البياني فيما يتعلق بمحور الإحداثي (الشكل 34) وهكذا ، نحصل على قطع زائد ، تقع فروعه في زاويتي الإحداثيتين الثانية والرابعة.

بشكل عام ، الرسم البياني للدالة عبارة عن قطع زائد ، تقع فروعه في زاويتَي الإحداثيتين الأولى والثالثة ، إذا كانت k> 0 (الشكل 33) ، وفي زاويتَي الإحداثيتين الثانية والرابعة ، إذا كان k< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

يقال عادة أن كميتين x و y متناسبان عكسيًا إذا كانا مرتبطين بالعلاقة xy = k (حيث k هو رقم بخلاف 0) ، أو نفس الشيء. لهذا السبب ، تسمى الوظيفة أحيانًا التناسب العكسي (عن طريق القياس مع الوظيفة y - kx ، والتي ، كما قد تكون ،
تذكر ، يسمى التناسب المباشر) ؛ رقم ك - معامل معكوس التناسب.

خصائص الوظيفة لـ k> 0

لوصف خصائص هذه الوظيفة ، سنعتمد على نموذجها الهندسي ، القطع الزائد (انظر الشكل 33).

2.y> 0 لـ x> 0 ؛ y<0 при х<0.

3. تقل الوظيفة على الفترات (- ° ° ، 0) و (0 ، + ° °).

5. ليست أصغر ولا أكبر قيمة للدالة

خصائص الوظيفة لـ k< 0
لوصف خصائص هذه الوظيفة ، سنعتمد على هندستها نموذج- القطع الزائد (انظر الشكل 34).

1. يتكون مجال الوظيفة من جميع الأرقام باستثناء x = 0.

2.y> 0 من أجل x< 0; у < 0 при х > 0.

3. تزيد الوظيفة في الفترات الزمنية (-oo، 0) و (0، + oo).

4. لا تقتصر الوظيفة من الأسفل أو من الأعلى.

5. لا تحتوي الدالة على القيم الأصغر ولا الأكبر.

6. الوظيفة متصلة على الفترات (-oo، 0) و (0، + oo) وتخضع لانقطاع عند x = 0.

محتوى الدرس مخطط الدرسدعم إطار عرض الدرس بأساليب متسارعة تقنيات تفاعلية ممارسة المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي ، والدورات التدريبية ، والحالات ، والأسئلة ، والواجبات المنزلية ، وأسئلة المناقشة ، والأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور ، مخططات صور ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، مرح ، أمثال كاريكاتورية ، أقوال ، كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الغريبة والكتب المدرسية المفردات الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروسإصلاحات الشوائب في البرنامج التعليميتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة للمعلمين فقط دروس مثاليةخطة التقويم للعام التوصيات المنهجية لبرنامج المناقشة دروس متكاملة

هذه المادة المنهجية هي للإشارة فقط وتشير إلى مجموعة واسعة من الموضوعات. تقدم المقالة نظرة عامة على الرسوم البيانية للوظائف الأساسية الرئيسية وتتناول القضية الأكثر أهمية - كيفية بناء رسم بياني بشكل صحيح وسريع... أثناء دراسة الرياضيات العليا دون معرفة الرسوم البيانية للوظائف الأساسية الأساسية ، سيكون من الصعب ، لذلك من المهم جدًا أن نتذكر كيف تبدو الرسوم البيانية للقطع المكافئ ، القطع الزائد ، الجيب ، جيب التمام ، إلخ ، لتذكر بعضًا منها قيم الوظائف. سنتحدث أيضًا عن بعض خصائص الوظائف الرئيسية.

أنا لا أتظاهر بالاكتمال والصلابة العلمية للمواد ، فسيتم التركيز ، أولاً وقبل كل شيء ، على الممارسة - تلك الأشياء التي على المرء أن يواجه حرفيا في كل خطوة ، في أي موضوع من مواضيع الرياضيات العليا... مخططات الدمى؟ يمكنك قول ذلك.

حسب الطلب الشعبي من القراء جدول محتويات قابل للنقر:

بالإضافة إلى ذلك ، هناك ملخص قصير جدًا حول هذا الموضوع
- إتقان 16 نوعًا من الرسوم البيانية من خلال دراسة ستة صفحات!

بجدية ، ستة ، حتى لقد فوجئت. يحتوي هذا الملخص على رسومات محسنة ومتاح مقابل رسوم رمزية ، ويمكن الاطلاع على نسخة تجريبية. من الملائم طباعة الملف بحيث تكون الرسوم البيانية دائمًا في متناول اليد. شكرا لدعمك المشروع!

وعلى الفور نبدأ:

كيف ترسم محاور الإحداثيات بشكل صحيح؟

من الناحية العملية ، يقوم الطلاب دائمًا بإعداد الاختبارات في دفاتر ملاحظات منفصلة ، مصطفة في قفص. لماذا تحتاج خطوط متقلب؟ بعد كل شيء ، يمكن أن يتم العمل ، من حيث المبدأ ، على أوراق A4. والقفص ضروري فقط لتصميم الرسومات عالي الجودة والدقيق.

يبدأ أي رسم لرسم بياني لوظيفة بمحاور إحداثيات.

تتوفر الرسومات في 2D و 3D.

لننظر أولاً إلى الحالة ثنائية الأبعاد نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي:

1) نرسم محاور الإحداثيات. المحور يسمى الإحداثي السيني والمحور المحور ص ... نحاول دائمًا رسمها أنيق وغير معوج... يجب ألا تشبه الأسهم لحية بابا كارلو.

2) نوقع على المحاور بأحرف كبيرة "X" و "Y". لا تنسى التوقيع على المحاور.

3) اضبط المقياس على المحاور: ارسم صفرًا واثنين من الآحاد... عند عمل رسم ، فإن المقياس الأكثر ملاءمة وشائعًا هو: وحدة واحدة = خليتان (الرسم على اليسار) - إذا أمكن ، التزم به. ومع ذلك ، يحدث من وقت لآخر أن الرسم لا يتناسب مع ورقة دفتر الملاحظات - ثم نقوم بتقليل المقياس: وحدة واحدة = خلية واحدة (الرسم على اليمين). نادرًا ، ولكن يحدث أن يتم تقليل (أو زيادة) حجم الرسم بشكل أكبر

لا تحتاج إلى "الخربشة بمدفع رشاش" ... -5 ، -4 ، -3 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ....لأن المستوى الإحداثي ليس نصبًا تذكاريًا لديكارت ، والطالب ليس حمامة. نضع صفرو وحدتان على طول المحاور... بعض الأحيان بدلا منالوحدات ، من الملائم "تعليم" القيم الأخرى ، على سبيل المثال ، "اثنان" على الإحداثي و "ثلاثة" على الإحداثي - وهذا النظام (0 و 2 و 3) سيحدد أيضًا شبكة الإحداثيات بشكل لا لبس فيه.

من الأفضل تقدير الأبعاد المقدرة للرسم قبل إنشاء الرسم.... لذلك ، على سبيل المثال ، إذا كانت المهمة تتطلب منك رسم مثلث برؤوس ،،، فمن الواضح تمامًا أن المقياس الشائع لوحدة واحدة = خليتان لن يعمل. لماذا ا؟ دعونا نلقي نظرة على النقطة - هنا عليك قياس خمسة عشر سنتيمترا لأسفل ، ومن الواضح أن الرسم لن يتناسب (أو بالكاد مناسب) على ورقة دفتر الملاحظات. لذلك ، نختار على الفور مقياسًا أصغر من وحدة واحدة = خلية واحدة.

بالمناسبة ، حوالي سنتيمترات وخلايا دفتر الملاحظات. هل صحيح أن 30 خلية رباعية تحتوي على 15 سم؟ قياس في دفتر ملاحظات للفائدة 15 سم بمسطرة. في الاتحاد السوفياتي ، ربما كان هذا صحيحًا ... من المثير للاهتمام ملاحظة أنه إذا قمت بقياس هذه السنتيمترات أفقيًا وعموديًا ، فستكون النتائج (في الخلايا) مختلفة! بالمعنى الدقيق للكلمة ، أجهزة الكمبيوتر المحمولة الحديثة ليست مربعة ، ولكنها مستطيلة الشكل. ربما يبدو هذا هراءًا ، لكن الرسم ، على سبيل المثال ، دائرة بها بوصلة في مثل هذه المخططات أمر غير مريح للغاية. لكي نكون صادقين ، في مثل هذه اللحظات تبدأ في التفكير في صحة الرفيق ستالين ، الذي تم إرساله إلى المعسكرات من أجل الاختراق في الإنتاج ، ناهيك عن صناعة السيارات المحلية ، والطائرات المتساقطة أو انفجار محطات الطاقة.

الحديث عن الجودة ، أو توصية موجزة للقرطاسية. اليوم ، معظم أجهزة الكمبيوتر المحمولة معروضة للبيع ، ناهيك عن الكلمات السيئة ، مليئة بالمثلية الجنسية. لسبب تبللها ، ليس فقط من أقلام الجل ، ولكن أيضًا من أقلام الحبر! يحفظون على الورق. لتسجيل الاختبارات ، أوصي باستخدام دفاتر الملاحظات من Arkhangelsk PPM (18 ورقة ، صندوق) أو "Pyaterochka" ، ومع ذلك ، فهي أكثر تكلفة. يُنصح باختيار قلم جل ، حتى أرخص قضيب جل صيني أفضل بكثير من قلم حبر جاف يقوم إما بتشويه أو تمزق الورق. قلم الحبر الحبر الوحيد "التنافسي" في ذاكرتي هو "إريك كراوس". إنها تكتب بشكل واضح وجميل وثابت - إما بنواة ممتلئة أو شبه فارغة.

بالإضافة إلى: تتناول المقالة رؤية نظام إحداثيات مستطيل من خلال عيون الهندسة التحليلية الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس النواقل، يمكن العثور على معلومات مفصلة حول تنسيق الأرباع في الفقرة الثانية من الدرس المتباينات الخطية.

حالة ثلاثية الأبعاد

تقريبا نفس الشيء هنا.

1) نرسم محاور الإحداثيات. اساسي: تطبيق المحور - موجه لأعلى ، المحور - موجه إلى اليمين ، المحور - يسارًا وهبوطًا بشكل صارمبزاوية 45 درجة.

2) نوقع المحاور.

3) اضبط المقياس على طول المحاور. مقياس المحور - نصف حجم المحاور الأخرى... لاحظ أيضًا أنه في الرسم على اليمين استخدمت "serif" غير القياسي على طول المحور (سبق ذكر هذا الاحتمال أعلاه)... من وجهة نظري ، هذا أكثر دقة وأسرع وأكثر إرضاء من الناحية الجمالية - ليست هناك حاجة للبحث عن وسط الخلية تحت المجهر و "نحت" وحدة قريبة من الأصل.

عند القيام بالرسم ثلاثي الأبعاد مرة أخرى - أعط الأولوية للقياس
وحدة واحدة = خليتان (الرسم على اليسار).

ما هي كل هذه القواعد؟ القواعد موجودة ليتم كسرها. ما سأفعله الآن. الحقيقة هي أن الرسومات اللاحقة للمقالة سوف أقوم بها في Excel ، وستبدو محاور الإحداثيات غير صحيحة من وجهة نظر التصميم الصحيح. يمكنني رسم جميع المخططات يدويًا ، لكن رسمها أمر مروع حقًا لأن Excel سيرسمها بدقة أكبر.

الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية

يتم إعطاء الدالة الخطية بواسطة المعادلة. الرسم البياني للوظائف الخطية هو مباشرة... من أجل بناء خط مستقيم ، يكفي معرفة نقطتين.

مثال 1

ارسم الدالة. لنجد نقطتين. من المفيد اختيار الصفر كأحد النقاط.

اذا ثم

خذ نقطة أخرى ، على سبيل المثال ، 1.

اذا ثم

عند ملء المهام ، عادةً ما يتم تلخيص إحداثيات النقاط في جدول:

ويتم حساب القيم نفسها شفهيًا أو على آلة حاسبة ، مسودة.

تم العثور على نقطتين ، دعنا ننفذ الرسم:

عند رسم رسم ، نوقع دائمًا على الرسوم البيانية.

لن يكون من غير الضروري تذكر الحالات الخاصة للدالة الخطية:

لاحظ كيف رتبت التوقيعات ، يجب ألا تسمح التوقيعات بالتناقضات عند دراسة الرسم... في هذه الحالة ، كان من غير المرغوب بشدة وضع توقيع بالقرب من نقطة تقاطع الخطوط ، أو في أسفل اليمين بين الرسوم البيانية.

1) تسمى الوظيفة الخطية للنموذج () التناسب المباشر. على سبيل المثال، . دائمًا ما يمر الرسم البياني النسبي المباشر من خلال الأصل. وبالتالي ، يتم تبسيط بناء الخط المستقيم - يكفي إيجاد نقطة واحدة فقط.

2) تحدد معادلة النموذج خطاً مستقيماً موازياً للمحور ، على وجه الخصوص ، يتم تعيين المحور نفسه بواسطة المعادلة. تم إنشاء الرسم البياني للوظيفة على الفور ، دون العثور على أي نقاط. وهذا يعني أن السجل يجب أن يُفهم على النحو التالي: "اللعبة دائمًا تساوي –4 ، لأي قيمة لـ x".

3) تحدد معادلة النموذج خطاً مستقيماً موازياً للمحور ، على وجه الخصوص ، يتم تعيين المحور نفسه بواسطة المعادلة. تم أيضًا إنشاء الرسم البياني للوظيفة على الفور. يجب فهم الترميز على النحو التالي: "x دائمًا ، لأي قيمة لـ y ، تساوي 1".

سيتساءل البعض لماذا تذكر الصف السادس ؟! هكذا هو الأمر ، ربما ، على مدى سنوات الممارسة ، قابلت عشرات الطلاب الذين كانوا في حيرة من أمرهم من مهمة بناء رسم بياني مثل أو.

يعد رسم خط مستقيم هو الخطوة الأكثر شيوعًا في الرسم.

تتم مناقشة الخط المستقيم بالتفصيل في سياق الهندسة التحليلية ، ويمكن لأولئك الذين يرغبون في الرجوع إلى المقالة معادلة خط مستقيم على مستوى.

تربيعي ، مخطط دالة تكعيبية ، رسم بياني متعدد الحدود

القطع المكافئ. مؤامرة الدالة التربيعية () هو قطع مكافئ. تأمل الحالة الشهيرة:

لنتذكر بعض خصائص الدالة.

إذن ، حل المعادلة: - عند هذه النقطة يقع رأس القطع المكافئ. لماذا يكون الأمر كذلك ، يمكنك معرفة ذلك من المقالة النظرية حول المشتق والدرس في أقصى درجات الدالة. في غضون ذلك ، نحسب القيمة المقابلة لـ "اللعبة":

وهكذا ، يكون الرأس عند النقطة

الآن نجد نقاطًا أخرى ، بينما نستخدم بوقاحة تماثل القطع المكافئ. وتجدر الإشارة إلى أن الوظيفة – ليست حتى، ولكن ، مع ذلك ، لم يقم أحد بإلغاء تناظر القطع المكافئ.

في أي ترتيب للعثور على بقية النقاط ، أعتقد أنه سيكون واضحًا من الجدول النهائي:

يمكن تسمية خوارزمية البناء هذه من الناحية المجازية بـ "المكوك" أو مبدأ "ذهابًا وإيابًا" باستخدام Anfisa Chekhova.

لننفذ الرسم:

ميزة أخرى مفيدة تتبادر إلى الذهن من الرسوم البيانية التي تمت مراجعتها:

لوظيفة تربيعية () ما يلي صحيح:

إذا ، ثم يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى.

إذا ، يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى أسفل.

يمكن الحصول على معرفة عميقة بالمنحنى في درس القطع الزائد والقطع المكافئ.

يتم إعطاء القطع المكافئ المكعب من خلال دالة. هذا رسم مألوف من المدرسة:

نسرد الخصائص الرئيسية للوظيفة

الرسم البياني للوظيفة

إنه يمثل أحد فروع القطع المكافئ. لننفذ الرسم:

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

في هذه الحالة ، يكون المحور الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للقطع الزائد في.

سيكون من الخطأ الجسيم إذا أهملت السماح بتقاطع الرسم البياني مع الخط المقارب عند رسم الرسم.

تخبرنا الحدود أحادية الجانب أيضًا أن القطع الزائد لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل.

دعونا نتحقق من الوظيفة عند اللانهاية: أي إذا بدأنا التحرك على طول المحور إلى اليسار (أو إلى اليمين) إلى ما لا نهاية ، فستكون "الألعاب" قريب بلا حدودتقترب من الصفر ، وبالتالي ، فروع القطع الزائد قريب بلا حدوداقترب من المحور.

إذن المحور خط مقارب أفقي للرسم البياني للدالة ، إذا كانت "x" تميل إلى زائد أو ناقص ما لا نهاية.

الوظيفة الفردية، وبالتالي ، فإن القطع الزائد متماثل حول الأصل. هذه الحقيقة واضحة من الرسم ، بالإضافة إلى أنه يمكن التحقق منها بسهولة تحليليًا: .

يمثل الرسم البياني للدالة بالصيغة () فرعين للقطع الزائد.

إذا ، فإن القطع الزائد يقع في الربعين الأول والثالث للإحداثيات(انظر الصورة أعلاه).

إذا ، فإن القطع الزائد يقع في الربعين الثاني والرابع للإحداثيات.

من السهل تحليل الانتظام المشار إليه في مكان إقامة القطع الزائد من وجهة نظر التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

مثال 3

أنشئ الفرع الأيمن للقطع الزائد

نحن نستخدم طريقة البناء نقطة بنقطة ، في حين أنه من المفيد تحديد القيم بحيث يتم تقسيمها بالكامل:

لننفذ الرسم:

لن يكون من الصعب إنشاء الفرع الأيسر من القطع الزائد ، وهنا ستساعد الوظيفة الفردية فقط. بشكل تقريبي ، في جدول البناء نقطة بنقطة ، أضف عقليًا ناقصًا لكل رقم ، ضع النقاط المقابلة وارسم فرعًا ثانيًا.

يمكن العثور على معلومات هندسية مفصلة حول الخط المدروس في المقالة القطع الزائد والقطع المكافئ.

الرسم البياني للوظيفة الأسية

في هذا القسم ، سأفكر على الفور في الوظيفة الأسية ، لأنه في مشاكل الرياضيات العليا في 95 ٪ من الحالات ، يكون هذا هو الأسي الذي يتم مواجهته.

اسمحوا لي أن أذكركم - هذا رقم غير منطقي: سيكون هذا مطلوبًا عند وضع جدول زمني ، والذي ، في الواقع ، سأبنيه بدون احتفال. ثلاث نقاط ربما تكون كافية:

دعنا نترك الرسم البياني للوظيفة بمفرده في الوقت الحالي ، المزيد عن ذلك لاحقًا.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

من حيث المبدأ ، تبدو الرسوم البيانية للوظائف متشابهة ، إلخ.

يجب أن أقول إن الحالة الثانية أقل شيوعًا من الناحية العملية ، لكنها تحدث ، لذلك اعتبرت أنه من الضروري تضمينها في هذه المقالة.

الرسم البياني للوظيفة اللوغاريتمية

ضع في اعتبارك دالة ذات لوغاريتم طبيعي.
دعنا ننفذ رسمًا خطوة بخطوة:

إذا كنت قد نسيت ما هو اللوغاريتم ، يرجى الرجوع إلى الكتب المدرسية الخاصة بك.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

اختصاص:

مدى من القيم:.

لا تقتصر الوظيفة على ما سبق: ، وإن كان ذلك ببطء ، لكن فرع اللوغاريتم يرتفع إلى ما لا نهاية.
دعونا نفحص سلوك الوظيفة بالقرب من الصفر على اليمين: ... إذن المحور الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للدالة مع "x" تميل إلى الصفر على اليمين.

من الضروري معرفة وتذكر القيمة النموذجية للوغاريتم.: .

من حيث المبدأ ، يبدو الرسم البياني للوغاريتم الأساسي هو نفسه: ، (اللوغاريتم العشري ذو الأساس 10) ، إلخ. علاوة على ذلك ، كلما كانت القاعدة أكبر ، سيكون الرسم البياني أكثر انبساطًا.

لن ننظر في القضية ، لسبب ما لا أتذكر آخر مرة أنشأت فيها رسمًا بيانيًا بهذا الأساس. ويبدو أن اللوغاريتم ضيف نادر جدًا في مسائل الرياضيات العليا.

في ختام الفقرة ، سأقول عن حقيقة أخرى: الدالة الأسية والدالة اللوغاريتميةهما وظيفتان معاكسا لبعضهما البعض... إذا نظرت عن كثب إلى الرسم البياني للوغاريتم ، يمكنك أن ترى أن هذا هو نفس الأس ، إنه يقع بشكل مختلف قليلاً.

الرسوم البيانية للدوال المثلثية

كيف يبدأ العذاب المثلثي في ​​المدرسة؟ حق. من الجيب

دعنا نرسم الدالة

هذا الخط يسمى جيبي.

اسمحوا لي أن أذكرك أن "pi" هو رقم غير منطقي: وفي علم المثلثات يتألق في العيون.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

هذه الوظيفة دوريمع فترة. ماذا يعني ذلك؟ لنلق نظرة على المقطع. إلى يساره ويمينه ، يتم تكرار نفس قطعة الرسم البياني تمامًا إلى ما لا نهاية.

اختصاص: ، أي ، لأي قيمة لـ "x" هناك قيمة شرط.

مدى من القيم:. الوظيفة محدود: ، أي أن جميع "اللاعبين" يجلسون بصرامة في هذا القطاع.
هذا لا يحدث: أو بالأحرى يحدث ، لكن هذه المعادلات ليس لها حل.

تتم كتابة الوظيفة بشكل عام مثل y = أو f (x) =

ص و س هي كميات متناسبة عكسيا، بمعنى آخر. عندما يكبر أحدهما ، ينقص الآخر (تحقق من خلال استبدال الأرقام في الوظيفة)

على عكس الوظيفة السابقة ، التي تنتج فيها x 2 دائمًا قيمًا موجبة ، لا يمكننا هنا أن نقول ذلك - = ، لأنها ستكون أرقامًا معاكسة تمامًا. تسمى هذه الوظائف الفردية.

على سبيل المثال ، دعنا نرسم الرسم البياني y =

بطبيعة الحال ، لا يمكن أن يكون x صفرًا (x ≠ 0)

الفروعتقع الرموز الزائدة في الجزأين الأول والثالث من الإحداثيات.

يمكنهم الاقتراب بلا حدود من الإحداثي وتنسيق المحاور وعدم الوصول إليهم أبدًا ، حتى لو أصبحت "س" مساوية لمليار. سيكون القطع الزائد قريبًا بشكل لا نهائي ، لكنه لن يتقاطع مع المحاور (مثل الحزن الرياضي).

لنقم ببناء رسم بياني لـ y = -

والآن تقع فروع القطع الزائد في الربعين الثاني والرابع من المستوى الإحداثي.

نتيجة لذلك ، يمكن ملاحظة التناسق الكامل بين جميع الفروع.